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7.5.2.7 Lathe
Gli oggetti torniti sono oggetti creati
dalla rotazione di una curva bidimensionale attorno ad un asse. Questa
curva è definita con un insieme di punti che sono connessi tra di
loro con curve lineari, quadratiche e cubiche. La sintassi è :
lathe {
[ linear_spline | quadratic_spline | cubic_spline ]
NUMERO_DI_PUNTI,
<PUNTO_1>, <PUNTO_2>, ..., <PUNTO_n>
[ sturm ]
}
Il parametro NUMERO_DI_PUNTI
specifica quanti punti bidimensionali formano la curva. Questi punti sono
uniti fra di loro con curve lineari, quadratiche e cubiche come è
specificato da una parola chiave facoltativa (quella di default è
linear_spline).
Dal momento che la curva non viene chiusa automaticamente, cioè
il primo e l'ultimo punto non sono connessi automaticamente, è necessario
che questo venga fatto a mano se vuoi una curva chiusa. La curva così
definita è ruotata attorno all'asse y per formare l'oggetto che
ha come centro l'origine.
Il seguente esempio crea un semplice oggetto che assomiglia ad un sottile
cilindro, cioè un cilindro delimitato da una sottile superficie :
lathe {
linear_spline
5,
<2, 0>, <3, 0>, <3, 5>, <2, 5>, <2, 0>
pigment {Red}
}
Il cilindro ha il raggio interno di
2 e il raggio esterno di 3, avendo in tutto uno spessore di 1. La sua altezza
è 5, è posto all'origine e sale verso l'alto, cioè
l'asse di rotazione è l'asse y. Notate che il primo e l'ultimo punto
sono uguali, in questo modo si genera una curva chiusa.
Le spline che sono usate dagli oggetti torniti e dai prismi sono un po'
difficili da capire. Il concetto base delle spline è quello di disegnare
una curva attraverso un insieme dato di punti in un certo modo. La spline
lineare è la più semplice perché non consiste in altro
nell'unire punti consecutivi con una linea. Questo significa che la curva
è tracciata tra due punti solo in relazione alla loro reciproca
posizione. Nessun'altra informazione è tenuta in conto. Le spline
quadratiche e cubiche sono diverse per il loro funzionamento, non solo
considerano anche la posizione di altri punti quando ne devono unire due,
ma hanno anche un aspetto più smussato e nel caso delle spline cubiche
producono un passaggio molto graduale da un punto all'altro.
Le spline quadratiche sono calcolate con funzioni quadratiche. Ciascuna
curva unisce due punti consecutivi. Dal momento che questi due punti (chiamiamoli
secondo e terzo) non sono sufficienti a descrivere una curva quadratica,
è necessario specificarne un terzo, di cui si possa tenere conto
per disegnare la curva. Matematicamente la relazione (la posizione reciproca
sul piano bidimensionale) tra il primo ed il secondo punto determina la
pendenza della curva al secondo punto. La pendenza della curva al terzo
punto non è sotto controllo. Per questo le curve quadratiche appaiono
molto più smussate delle curve lineari, ma il passaggio da un punto
all'altro non è completamente smussato perché la pendenza
dalle due parti del punto può essere diversa.
Le spline cubiche superano il problema della transizione da un punto all'altro
che abbiamo ora descritto per le spline quadratiche. Infatti prendono in
considerazione anche il quarto punto quando tracciano la curva tra il secondo
ed il terzo. La pendenza al quarto punto è sotto controllo e ciò
permette una transizione più smussata tra un punto ed un altro.
Devi notare che il numero dei segmenti che compongono la curva dipende
dal tipo di spline usato. Per le spline lineari si avranno n-1 segmenti
che connettono i punti P[i], i=1,...,n. Una spline quadratica darà
n-2 segmenti perché l'ultimo punto è usato solamente per
determinare la pendenza (quindi sono necessari come minimo tre punti per
definire una spline quadratica). Lo stesso vale per le spline cubiche,
dove si avranno n-3 segmenti, con il primo e l'ultimo punto usati solo
per il calcolo della pendenza (quindi servono almeno quattro punti).
Se vuoi ottenere una spline quadratica o cubica chiusa con transizioni
smussate da un punto ad un altro, è necessario che ti assicuri che,
nel caso delle spline cubiche , P[n-1] = P[2] (per ottenere una curva chiusa),
P[n] = P[3] e P[n-2] = P[1] (per ottenere transizioni graduali). Nel caso
di una spline quadratica deve valere che P[n-1] = P[1] (per avere una curva
chiusa) e P[n] = P[2].
Con le spline quadratiche è possibile usare l'algoritmo di Sturm,
più lento, ma più accurato. Dal momento che è necessario
risolvere un polinomio di secondo grado, l'algoritmo di Sturm non è
necessario per le spline lineari. Nel caso di spline cubiche invece viene
spesso usato perché si deve risolvere un polinomio di sesto grado.
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